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Flux in 2D (Part 2)

3. Outward flux across a closed plane curve

Recall that:

If $C$ is a piecewise-smooth, simple closed curve, the net outward flux of a vector field $\mathbf v =v_1(x,y)\,\mathbf i +v_2(x,y)\,\mathbf  j$ across $C$ is given by
$$\text{Net outward flux}=\oint_C \mathbf v\cdot \mathbf n\, dS$$
where $\mathbf n$ is a unit vector normal to $C$, directed outward from the region bounded by $C$.

  
Example 1. Suppose that $C$ is a circle of radius $r$, centre the origin. Let $\mathbf v=x\,\mathbf i+y\,\mathbf j$. In this case, the unit normal vector to $C$ is in the same direction as $\mathbf v$. Thus
$$\mathbf v \cdot \mathbf n =|\mathbf v|=r.$$
It follows that
$$\text{Net outward flux}=\oint_C \mathbf v\cdot \mathbf n dS=\oint_C r\,dS=r\oint_C dS=2\pi r^2.$$

The following applet shows a dynamic view of Example 1. Change the radius of the circle to check the general solution.


Example 2. Consider the same circle $C$ of radius $r$, centre the origin. But now we have $\mathbf v=-y\,\mathbf i+x\,\mathbf j$. In this case, $\mathbf v$ is perpendicular to the unit normal vector $\mathbf n$. Thus
$$\mathbf v \cdot \mathbf n =0.$$
Therefore
$$\text{Net outward flux}=\oint_C \mathbf v\cdot \mathbf n\, dS=0.$$

The following applet shows a dynamic view of Example 2. Change the radius of the circle to check the general solution.


Observation: The previous examples make sense physically. In the Example 1, the fluid is spewing out the origin, and thus flowing through $C$. On the other hand, in Example 2, the fluid is spinning around the origin. None of it crosses $C$.

Flux form of Green's theorem

If $C$ is a positively oriented simple closed curve enclosing a region $D$ and $\mathbf v =v_1(x,y)\,\mathbf i +v_2(x,y)\,\mathbf  j$ then
$$\text{Net outward flux}=\oint_C \mathbf v\cdot \mathbf n \,dS=\iint_D\text{div}(\mathbf v )\,dA$$
where $\text{div} (\mathbf v)=\dfrac{\partial v_1}{\partial x}+\dfrac{\partial v_2}{\partial y}$.


Example 3. Consider again the example of a circle $C$ of radius $r$, centre at the origin, and the velocity vector $\mathbf v =x\, \mathbf i +y\, \mathbf j$. Since
$$\text{div}(\mathbf v)=1+1=2,$$
then
$$\text{Net outward flux}=\oint_C \mathbf v\cdot \mathbf n \,dS=\iint_D\text{div}(\mathbf v )\,dA=\iint_D 2\,dA=2\pi r^2.$$

If we move the circle away from the origin, the flux is still $2\pi r^2$. However, computing $\oint_C \mathbf v \cdot \mathbf n \,dS$ becomes quite hard.

The following applet shows a dynamic representation of Example 3. Move the circle around. Observe that the flux remains constant. You can also observe the flux for a semicircle by dragging the slider for the partial path.

Key Concept

In the context of fluids the divergence measures how much fluid is being added (or taken away); these are known as sources (or sinks). For $\mathbf v =x\, \mathbf i +y\, \mathbf j$, fluid is being added everywhere (imagine rain falling on the ground and then flowing from the origin). For $\mathbf v =-y\, \mathbf i +x\, \mathbf j$ the divergence is zero. No fluid is being added or removed, there are no sources or sinks.




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Distancia, velocidad y aceleración

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El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
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