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Roots of complex numbers

Consider $z=a+ib$ a nonzero complex number. The number $z$ can be written in polar form as
\[z=r(\cos \theta +i \sin \theta)\]
where $r=\sqrt{a^2+b^2}$ and $\theta$ is the angle, in radians, from the positive $x$-axis to the ray connecting the origin to the point $z$.

Now, de Moivre's formula establishes that if $z=r(\cos \theta +i\sin \theta)$ and $n$ is a positive integer, then
\[z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta).\]
Let $w$ be a complex number. Using de Moivre's formula will help us to solve the equation $z^n=w$ for $z$ when $w$ is given. Suppose that $w=r(\cos \theta +i\sin \theta)$ and $z=\rho (\cos \psi +i\sin \psi)$. Then de Moivre's formula gives $z^n=\rho^n(\cos n\psi+i\sin n\psi)$. It follows that $\rho^n=r=|w|$ by uniqueness of the polar representation and $n\psi = \theta +k(2\pi)$, where $k$ is some integer. Thus
\[z=\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) \right]\]
Each value of $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ gives a different value of $z$. Any other value of $k$ merely repeats one of the values of $z$ corresponding to $k=0,1,2,\ldots ,n-1$. Thus there are exactly $n$th roots of a nonzero complex number.

The complex number $z$ can also be written in exponential form as
\[z=re^{i\theta}\]
because $e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$.

Thus, the $n$th roots of a nonzero complex number $z$ can also be expressed as
\[z=\sqrt[n]{r}\;\mbox{exp}\left[i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\]
where $k=0, 1, 2, \ldots , n-1$.

In the following applet you can see a geometrical representation of the $n$th roots for a family of complex numbers. Change the values of the real and imaginary parts of $z$ and the $n$th root. Some examples are:
  1. Re(z)=1/2, Im(z)=1.72, n=3; 
  2. Re(z)=sqrt(2), Im(z)=pi, n=7.

External link to GeoGebra applet: http://tube.geogebra.org/student/m298919



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Distancia, velocidad y aceleración

Cálculo Diferencial: Método para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado.
Cálculo Integral: Método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad.
Intuitivamente:
Para encontrar la distancia recorrida de un objeto, cuando se conoce la velocidad, se recurre al cálculo integral, es decir, se debe calcular el área bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto del tiempo.
Para encontrar la velocidad de un movimiento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado, se recurre al cálculo diferencial, es decir, se debe calcular la derivada de la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo.
El problema de la integración es recíproco al problema de derivación y viceversa.
- Al integrar, función velocidad, se calcula distancia. - Al derivar, función distancia, se calcula velocidad
Applets de Geogebra 
Representación del movimiento. En estos applets pueden modificar…

El fracaso de la matemática moderna de Morris Kline

'El fracaso de la matemática moderna', o bien '¿Por qué Juanito no sabe sumar?', es un libro escrito por el matemático estadounidense Morris Kline y publicado en 1973 (El título original en inglés es: Why Johnny can't add: The failure of the New Mathematics).  Kline realiza una crítica de la educación de la matemática moderna en los años 70.

Gracias al esfuerzo de Juan Pablo Cárdenas Gutiérrez, ahora pueden tener acceso al libro de Morris Kline en versión digital (pdf).

Nota importante:Los libros digitales de este Blog son para fines educativos. Este libro es difícil de conseguir en México y por esa razón lo he subido aquí, para compartirlo y utilizarlo en discusiones acerca de la enseñanza de las matemáticas. Si tienen la oportunidad de adquirirlo, no lo duden, pues considero que es un excelente libro. 

En el siguiente link pueden encontrar una versión libre en inglés: Why Johnny can't add

Sinopsis:

Representaciones en 3D: Espiral y curva paramétrica de pi

Otro uso de proyecciones ortográficas con Geogebra.

1. Curva paramétrica para representar a $\pi$
Para generar la curva que representa a $\pi$ se requiere utilizar una ecuación paramétrica.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente.
Por ejemplo: Dada la ecuación $y = x^2$, una parametrización tendrá la forma $$\begin{cases} x = u (t) \\ y = v (t) \end{cases}$$
Una parametrización posible sería $$\begin{cases} x = t \\ y = t^2 \end{cases}$$
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio $r$ verifica que $x^2 + y^2 =r^2$.
Una expresión paramétrica de la circunferencia es $\begin{cases} x = r \cos t  \\ y = r \sin t \end{cases}$
1.1 Curva $\pi$:
En nuestro caso, para generar la curva $\pi$, es necesario defini…